Dr. Bert Mosselmans - Pythagoras
Pythagoras (569-475 v.Chr.)
filosoof, wiskundige
Inleiding
Pythagoreeërs, leerlingen van Pythagoras.
Pythagorisme
Pythagoras: wiskunde en context
De structuur van de Pythagorische Orde
De politieke aktiviteiten van de Pythagoreeërs
Een algemene schets van de Pythagorische leer
De rol van de wiskunde
Inleiding tot de Pythagorische getallenmystiek
Besluit
Bibliografie
Inleiding
Pythagoras, Grieks filosoof, *ca. 580 v.Chr. op Samos, t 504 v.C. Metapontos (Z.-Italië). Over Pythagoras leven bestaan veel legenden. Het is wel zeker dat hij zich aanvankelijk bezig hield met de land-meet-kunde en van daaruit wellicht oog kreeg voor de betekenis van het meetbare in de kosmos. Om aan de tirannie van Polykrates te ontkomen week hij ca. 530 uit naar Kroton (Z.-Italië), waar hij de bond van de pythagoreeërs stichtte. Waarschijnlijk zijn de kern van de latere filosofische bespiegelingen in het pythagorisme en de ethische voorschriften die de grondslag vormen van de pythagoreïsche levenspraktijk, van Pythagoras afkomstig.
Wiskundige betekenis. De wiskundige studies van Pythagoras zijn vrij goed bekend. Die van zijn leerlingen werden uit eerbied voor de stichter op naam van Pythagoras gesteld, bv. de stelling van Pythagoras, volgens welke de vierkanten, beschreven op de rechthoekszijden a en b van een rechthoekige driehoek, samen een even groot oppervlak hebben als het vierkant op de schuine zijde c, dus c2 = a2 + b2.
Deze stelling is bekend door Eukleides. Dat de stelling door Pythagoras gevonden is, wordt door verscheidene oude schrijvers herhaald, bv. door Proklos, Ploutarchos en Diogenes Laertios. Andere meetkundige voorstellingen, aan Pythagoras of zijn leerlingen bekend, waren de regelmatige veelvlakken, waarvan tetraëder, kubus en octaëder reeds door de Egyptenaren waren overgeleverd. Zij vormden een basis van de natuurfilosofie der pythagoreeërs.
terug naar de Inhoud
Pythagoreeërs, leerlingen van Pythagoras.
De pythagoreeërs waren reeds tijdens het leven van hun leermeester tot een orde verbonden, die een religieus karakter droeg: de discipelen, ingewijd in de (aanvankelijk slechts Delfisch-Apollinische) mysteriën, waren tevens deelgenoot van de uitsluitend aan hen bekende visie van de stichter. De bond kenmerktte zich, politiek gezien, door een streng aristocratisch karakter; ethisch door de eisen van eenvoud, harding, erkenning van het gezag van de meester (vandaar het beroemde: autos efa, hij heeft het zelf gezegd), trouw jegens elkaar en het gemeenschappelijk aanzitten aan de dis; bovendien was men verplicht de resultaten van de speculatieve mathesis als geheim der orde te bewaren.
Voorzover de orde politieke leiding gaf, rees van democratische zijde reeds spoedig verzet: uit deze factor is waarschijnlijk zowel de verhuizing van Pythagoras uit Kroton naar Metapontos (vóór 504) als (ca. 420) de vlucht van Archytas en Lysis uit laatstgenoemde plaats te ver-klaren. Intussen deden zich ook binnen de bond tegenstellingen voor. Deze innerlijke conflicten onder-mijnden het gezag van de groepering, die dan ook, in tegenstelling tot het pythagorisme, na de 5e eeuw v.Chr. vrijwel geen rol van betekenis meer speelde.
De pythagoreeërs ontdekten het onmeetbare getal pi. M.b.t. de astronomie leerden zij, dat de aarde en andere hemellichamen bollen zijn, die zich in cirkelvormige banen bewegen om het heilige centraalvuur (burcht van Zeus).
terug naar de Inhoud
Pythagorisme
Pythagorisme, antiek filosofische richting, die haar oorsprong herleidde tot de met legenden omgeven figuur van Pythagoras; te onderscheiden in:
1. in de 5e eeuw v.Chr. het oude p., dat een leer ontwikkelde volgens welke de dingen in wezen getallen zijn. De voornaamste vertegenwoordiger Filolaos (midden 5e eeuw v.C.) schijnt het eerst deze getallenleer verbonden te hebben met de mystiek-religieuze traditie van Pythagoras en zijn onmiddellijke volgelingen, de pythagoreeërs.
De mens-opvatting binnen deze oudste richting in het pythagorisme werd als een religieuze theorie overgenomen uit de orfiek. De menselijke ziel is een onstoffelijke en onsterfelijke zelfstandigheid (daimoon), die wezenlijk verschilt van het lichaam (dualisme), op aarde leeft als in een graf of gevangenis, zich zo veel mogelijk van het zintuiglijke dient te onthechten en na meerdere incarnaties (zielsverhuizing) weer in haar plaats van herkomst wordt opgenomen. Veel van deze elementen zijn zeer duidelijk nog bij Plato te vinden en via deze bleef veel pythagoreïsch erfgoed bewaard binnen de Academie.
2. Sedert de 1e eeuw v.Chr. een min of meer zelfstandige richting binnen het filosofiseh denken, een eclectisch, vrij onsamenhangend mengsel van oudpythagoreïsche, platoonse en stoïsche elementen. met een sterk dualistische inslag. Zijn vertegenwoordigers duidt men meestal aan met de naam neo-pythagoreeërs.
terug naar de Inhoud
Pythagoras: wiskunde en context
Wie vroegere denkers wil interpreteren, botst onmiddellijk op de moeilijkheid dat hun referentiekaders verschillen van de onze, zodat het moeilijk, zoniet onmogelijk is, om te achterhalen wat ze bedoelden met wat ze neerschreven. Zo ook wat betreft de wiskunde. In hetgeen volgt, wil ik, vanuit een algemene schets van de organisatie van de Pythagorische Orde, hun houding op politiek vlak en een algemene schets van de Pythagorische leer, de rol van de wiskunde aanstippen. Een beknopt overzicht van kernbegrippen uit de getallenmystiek rondt deze bespreking af.
Ik ga niet in op allerlei mythen die Pythagoras omringen: hij zou van uitmuntende schoonheid geweest zijn, hij kon in de toekomst kijken, hij was gepredestineerd tot groot wijsgeer, hij kende zijn vorige levens. Veel materiaal ging verloren en een aantal van de overgeleverde teksten zijn wellicht pas eeuwen na Pythagoras geschreven.
terug naar de Inhoud
De structuur van de Pythagorische Orde
Door zijn redevoeringen kan Pythagoras een groot aantal discipels rond zich verenigen, die evenwel niet in isolatie met de buitenwereld leven. De Pythagorische leer is weliswaar esoterisch van aard, maar wordt niet uitsluitend omwille van zichzelf onderwezen: men wil mensen opvoeden volgens een wetenschappelijke religie en de staatsvorm op een adequate wijze inrichten.
De tempel bestaat uit een cirkelvormige zuilenrij, omdat de cirkel de perfecte figuur vormt. De tempel is opgedragen aan negen muzen, uitgebeeld als vrouwelijke schoonheden. Ze vertegenwoordigen de wetenschappelijke disciplines: astronomie, waarzeggerij, wetenschap van leven en dood, geneeskunde, magie, moraal, wetenschap van de elementen, wetenschap van de mineralen, wetenschap van de planten en de dieren. De hoogste van alle wetenschappen, de theosofie, zorgt ervoor dat ze met tien in aantal zijn - de tien is namelijk hét perfekte getal.
De Meesters geven les aan leerlingen, die uit twee klassen bestaan: de Pythagoreeërs leven in gemeenschap van goederen en vormen een hechte commune; de meerderheid, de Pythagoristen, zijn buitenstaanders die regelmatig een college bijwonen. De dag van de Pythagoreeërs is gevuld met studie, gebeden, astronomische observaties en atletiek. Pythagoras toont zijn ware gelaat enkel aan een beperkte groep; wie niet is ingewijd, kan colleges bijwonen die van achter een gordijn worden gedoceerd.
Kandidaatleden, voorgesteld door ouders of Meesters, worden aan zware testen onderworpen. Eerst worden ze toegelaten tot het gymnasium waar ze, overeenkomstig hun leeftijd, op een serene manier spelen, zodat Pythagoras zich een eerste mening kan vormen. De proeftocht behelst een overnachting in een grot, die enige moed vereist: men wordt namelijk aangevallen door verscheidene monsters en geesten. Vervolgens is er een morele test: men dient vragen als "Waarom is een dodekaëder (twaalfvlak) begrepen in een cirkel, het symbool van het universum?" te beantwoorden. Op deze manier vallen talrijke jongeren onherroepelijk uit de boot. Afgewezen kandidaten worden veelal vijanden van de Orde en zullen later participeren in de vernietiging van de school.
De gedachte, dat er één ware interpretatie van de werkelijkheid bestaat, leidt tot de idee van de eenheid der geesten en bezittingen, een geheel, aangevoerd door Pythagoras, die zijn absoluut gezag legitimeert door naar zijn goddelijke afkomst te verwijzen. Pythagoras wordt beschouwd als supermens, die niet onderhevig is aan de dagelijkse menselijke ongemakjes. De Pythagorische orde vormt een staat in de staat, die politieke invloed naar buiten toe uitoefent.
terug naar de Inhoud
De politieke aktiviteiten van de Pythagoreeërs
De meeste leden van de Orde zijn afkomstig uit aristocratische milieus, zodat de interesse voor politiek al van in het begin aanwezig was. Het lijkt onwaarschijnlijk dat er niet over politiek werd gesproken en er is ook sprake van rechtstreekse of onrechtstreekse invloed op de politieke besluitvorming. Nochtans mogen we het belang hiervan niet overdrijven. Het broederschap is in eerste instantie religieus-esoterisch, zodat we alle eruit voortvloeiende activiteiten vanuit dat kader moeten interpreteren. Men wil het ethisch-filosofisch ideaal verwezenlijken, en dat onder meer via politieke weg, door een staat te ontwikkelen die de studie van de mysteries op een zo adequaat mogelijke wijze bevordert. We begrijpen het belang van het politieke dus vanuit de filosofische visie van de Pythagoreeërs.
terug naar de Inhoud
Een algemene schets van de Pythagorische leer
Pythagoras gelooft in zielsverhuizing: na de dood incarneert de ziel zich in een ander lichaam en daar alle leven verwant is en één geheel vormt, kan dat even goed een dier zijn. Zo zou Pythagoras ooit een broeder bevolen hebben om een hond met rust te laten, omdat hij de stem van een overleden vriend herkende. Men dient steeds zijn beddengoed bijeen te rollen, om voortdurend klaar te staan voor de volgende zielsverhuizing.
De eenheid van het heelal verklaart waarom men geen bonen mag eten: deze symboliseren de kosmos. Ook het dragen van een ring is verboden, daar deze de gebondenheid van de ziel aan het aardse symboliseert. Omdat de ziel eeuwig leeft en dus aan eeuwige reïncarnaties onderworpen is, trachten de Pythagoreeërs te ontsnappen aan het wiel der wedergeboortes. Dit doen ze door een streng moreel leven te leiden, gericht op de contemplatie (het aanschouwen van het hogere). Men wil de geheimen van de kosmos bereiken door de mysteries te ontsluieren; dit gebeurt met behulp van de wetenschap.
Het heelal moet noodzakelijkerwijze een eindige orde zijn, omdat het oneindige geen vorm bezit, geassocieerd wordt met de vormeloze materie en als slecht wordt ervaren. Pythagoras onderscheidt tien hemelse sferen met in het centrum een kosmische haard, de schepper van alle leven. Naast de aarde kent Pythagoras vijf planeten, de zon en de maan. Hij vindt de 'tegenaarde' uit, om samen met de kosmische haard een totaal van 10 hemellichamen te bekomen.
terug naar de Inhoud
De rol van de wiskunde
Het doel van de Pythagorische Orde is de ontsnapping aan het eeuwige wiel van de reïncarnaties, om gelijk te worden aan de godheid en zo deel te hebben aan de diepste mysteries van de natuur. De studie, het bedrijven van hetgeen wij nu wetenschap noemen, gebeurt ook in functie van de ontsnapping aan het wiel, daar men de werkelijkheid achter de werkelijkheid wil ontdekken.
Omdat op aarde alles vergankelijk is en onderhevig aan het proces van eeuwige wederkeer, moet er zich een vaststaande, goddelijke realiteit achter bevinden: deze is een bouwwerk van geometrische orde. De studie van de geometrie is daarom noodzakelijk om de grens met het goddelijke te overschrijden. Voor Pythagoras en de zijnen bestaan de getallen werkelijk, achter deze wereld en zijn het godheden. Hoe vanuit het getal de geometrie en vanuit de geometrie de 'werkelijkheid' ontstaat, bespreken we hieronder.
terug naar de Inhoud
Inleiding tot de Pythagorische getallenmystiek
We geven eerst weer wat de getallen van 1 tot en met 10 betekenen; vervolgens hoe deze getallen de kosmos genereren. Aangezien de absolute leegte geen attribuut is van de goden, komt het getal "nul" niet voor in de getallenmystiek.
(1) De één is de schepper van de kosmos, van de getallenorde die achter de zichtbare werkelijkheid staat. Vanuit de één ontwikkelt zich al het andere. De één is daarom geen echt getal, maar wel de schepper van de getallen. De één is het mannelijke, vormende beginsel; het symbool voor het goede, voor de vriendschap en voor de bestendigheid.
De één wordt tevens geassocieerd met de kosmische haard. De één, het vormende beginsel, transformeert de oneindige, vormeloze en slechte materie tot eindige, gevormde objekten.
Aangezien men meent dat zich vanuit de één al het andere ontwikkelt, brengt de 'ontdekking' van irrationele getallen een schokgolf teweeg.
(2) De twee is de dialectische tegenhanger van de één; de twee is de schepper van het kwade. Uit de dialectische interactie tussen één (eindig, vormend, mannelijk en goed) en twee (oneindig, vormeloos, vrouwelijk en kwaad) ontwikkelt zich de beweging in de kosmos. De eeuwige terugkeer van het gelijk, het rad van het leven dat eeuwig draait, wordt in stand gehouden door een interactie die sterk doet denken aan de Zoroastrische leer, waarmee Pythagoras in Babylon in aanraking zou zijn gekomen.
(3) De drie is het eerste echte getal en wordt dan ook geassocieerd met de veelvuldigheid. De drie staat symbool voor de drie dimensies (de enige die gebruikt worden) en van de materie. De voorstelling van de drie is de driehoek.
(4) Omdat 1+2+3+4 = 10, het perfecte getal, maakt het getal vier het rijtje perfect. Daar de één een punt, de twee een rechte lijn, de drie een oppervlak (driehoek) en de vier een ruimtelijke figuur (viervlak, tetraëder) vormt, krijgt de vier de rol van de vervolmaker van de schepping, gesymboliseerd door de dèmiourgos, de smid die de vormen slaat in de vormeloze materie. De vier stelt tevens de vier elementen voor: water, aarde, vuur en lucht.
(5) De vijf is belangrijk, omdat ze zich in het midden van de 10 bevindt. Men spreekt ook van huwelijk, daar vijf de som vormt van de mannelijke, oneven 3, en de vrouwelijke, even 2. De vijf symboliseert tevens de vijf perfecte ruimtelijke figuren: de piramide (tetraeder), de kubus, de oktaëder, de dodekaëder en de ikosaëder.
(6) De zes is het eerste perfecte getal: 1+2+3=6. De zes representeert de zes levensniveaus: de ontkieming van het zaad, het leven van de plant, het leven van het dier, de mens, de demonen als mediator tussen het menselijke en het goddelijke, en tenslotte het goddelijke zelf.
(7) In tegenstelling tot de voorgaande getallen, kan de zeven noch 'gemaakt worden' vanuit getallen kleiner dan 10, noch zélf getallen kleiner dan 10 'maken'. De zeven is daarom de maagd, voorgesteld door de godheid Athena. Aangezien Athena geboren werd uit het hoofd van Zeus is de zeven tevens het symbool voor het verstand.
(8) De acht is de eerste kubus, een gevolg van de harmonie die tussen haar onderdelen bestaat (2+2+2+2=8). De acht heet daarom 'Harmonia'.
(9) De negen symboliseert de gerechtigheid, omdat 3x3=9. De negen is een kwadraat, bestaat dus uit twee gelijke delen, die bovendien oneven en dus goed zijn.
(10) De tien, ook een perfect getal, maakt de cirkel rond, omdat we nu opnieuw kunnen beginnen tellen. De tien staat zo tegelijk het verst en het dichtst bij de één, en is daarom nooit volledig begrijpbaar.
De creatie van het universum gebeurt in drie fasen, waarbij we vertrekken van een dialectische wisselwerking tussen het eindige en het oneindige.
In deze eerste fase ontwikkelen zich vanuit één en twee, die niet als getallen beschouwd worden, de andere getallen.
In de tweede fase ontwikkelen zich vanuit de getallen de geometrische figuren. Met de drie ontstaan oppervlakken, en uit de vier ruimtelijke figuren. Met de vijf ontstaan de perfecte geometrische figuren.
Over de derde fase, de overgang van geometrische figuren naar vaste lichamen, spreken de bronnen elkaar tegen. Algemeen wordt de aarde geassocieerd met de kubus, het vuur met de piramide, de lucht met het octaëder, het water met het ikosaëder, en de dodecaëder met de vorm van de kosmos in zijn geheel. Uit de perfecte geometrische figuren ontstaan de elementen; uit de mengeling van deze elementen ontstaan de lichamen op aarde.
terug naar de Inhoud
Besluit
Wat de wiskunde voor de Pythagoreeër betekent, kunnen wij vandaag moeilijk inzien. Het is kenmerkend voor de ontwikkeling van de menselijke beschaving, dat we evolueren van ongedifferentieerd naar gedifferentieerd denken en van absolute éénheid naar onvergelijkbare veelheden. Aanvankelijk omvatte 'filosofie', een term door Pythagoras geïntroduceerd, het geheel van het menselijk streven naar inzicht en ook de wiskunde. Aangezien de wiskunde een deel van de wijsbegeerte vormt, moeten we ze vanuit de wijsbegeerte begrijpen.
De studie van het getal beantwoordde aan de eisen van de Pythagorische doctrine en die was religieus en ethisch van aard. Waar de één een religieus broederschap, de ander een politieke drukkingsgroep en een derde een wetenschappelijke organisatie ziet, bestond er een ongedifferentieerd geheel dat wij nooit meer volledig kunnen begrijpen.
terug naar de Inhoud
Bibliografie
American Theosophical Society. [1914] 1925. Pythagoras. Greek Philosopher. Initiate Teacher. Founder of a Brotherhood at Crotona. Chicago: The Theosophical Press.
Bell, E.T. [1937] 1965. Men of Mathematics. Vol. 1. Harmondsworth: Penguin Books.
Dethier, H. 1993. Het gezicht en het raadsel. Profielen van Plato tot Derrida. Brussel: VUB-Press.
Gorman, P. 1979. Pythagoras. A Life. London: Routledge and Kegan Paul.
Guthrie, W. K. C. [1962] 1969. A History of Greek Philosophy. Vol. 1. Cambridge: Cambridge Universi-ty Press.
Minar, E. L. [1939] 1979. Early Pythagorean Politics in Practice and Theory. New York: Arno Press.
Van Der Waerden, B. L. 1979. Die Pythagoreer. Religiöse Bruderschaft und Schule der Wissenschaft. Zürich: Artemis.
terug naar het literatuuroverzicht
terug naar Pythagoras' getallenleer
^