De Gulden Snede of Sectio divina
Pythagoras: "Alles berust op getalsmatige verhoudingen."
Zo ook de gulden snede.
Margriet
het is alsof we in het oog
van een draaikolk kijken
- de zelfstandigheid van de menselijke geest,
- de verstandhouding met Gods heilige geest
- en hun eenheid door hun voortkomst uit de
goddelijke algeest, de bron van beiden.
De gulden snede wordt voorgesteld door een punt op een bepaalde plaats op een lijnstuk (zie hieronder), dat dit lijnstuk in een kleiner en een groter deel verdeelt op een zodanige wijze, dat de verhouding van het kleinere deel tot het grotere deel dezelfde is als het grotere deel zich verhoudt tot het geheel.
De gulden snede is: de verhouding tussen de menselijke geest en Gods heilige geest, die dezelfde is als de verhouding tussen de heilige geest en de goddelijke algeest.
Deze verhouding wordt weergegeven door de uitspraak van Jezus in Johannes 14:6 - "Jezus zei: ‘Ik ben de weg, de waarheid en het leven. Niemand kan bij de Vader komen dan door Mij." M.a.w.: Iemand (de mens, het kleine deel) komt alleen door Mij (het grote deel) tot de Vader (het geheel). Door het 'zo boven, zo beneden' komt die persoonlijke verstandhouding ook in Gods schepping voor en trekt die in de vorm van de gulden snede de aandacht van de mens, die vaag het wezenlijke van zichzelf daarin herkent.
Eenzelfde verhouding wordt door Jezus geschetst in Johannes 17:21-22: Laat hen allen één zijn, Vader. Zoals U in Mij bent en Ik in U, laat hen zo ook in Ons zijn, [...] Ik heb hen laten delen in de grootheid die U Mij hebt gegeven, opdat zij één zijn zoals Wij. Ik in hen en U in Mij. Dan zullen zij volkomen één zijn...
(Zie voor een beschrijving van de fractale verhouding tussen 'God, Gods engelen en de mensheid', bij dat onderwerp in het menu.)
Hieronder zes diaseries met een aantal voorbeelden van de verschillende
wijzen waarop de gulden snede in Gods schepping voorkomt:
(gebruik de ↑ en ↓ of ← en → -toetsen, sluit af met esc)
(de diapresentaties zijn herzien en bijgewerkt met de laatste versie van Keynote. Safari-gebruikers worden aangeraden eerst de 'geschiedenis' te wissen: > Safari > Wis geschiedenis > hele geschiedenis > wis)
Inleiding in de gulden snede 40 dia's
De gulden snede in het planten- en dierenrijk 62 dia's
Het bijzondere geval van de Puya raimondii 17 dia's
De gulden snede bij de mens en zijn kunstuitingen 46 dia's
Wiskunde, veelvlakken en kosmos 63 dia's
Fibonacci-spiralen als kunstvorm 24 dia's
Fibonacci-verhoudingen worden ook teruggevonden in het koersverloop van aandelen op de beurs.
1 Schoonheid
Naast de persoonlijke schoonheidsbeleving is er ook een algemeen geldende en een daarmee samenhangend algemeen geldend, kunstzinnig oordeel. In die algemene zin is schoonheid een zodanige verdeling van meerdere vormen, klanken of kleuren in een bepaald geheel, dat er een evenwichtige verhouding en samenhang tussen de onderdelen bestaat.
Schoonheid is een zodanige samenhang tussen verschillende vormen, klanken of kleuren, dat zij samen een eenheid vormen binnen het grotere geheel; niet een van die vormen, klanken of kleuren valt uit de toon, voert de boventoon, is niet passend of verstoort de samenhang - de delen hangen met elkaar samen en vormen een eenheid. Hangt die verhouding van vormen samen met de 'gulden snede', dan wordt zij, ook zonder dat men hier weet van heeft, door de meeste mensen als schoonheid ervaren.
Bij een bepaalde verhouding van delen in een geheel richt de aandacht zich van nature op de plaats van de gulden snede. Dit komt doordat door de afstand tussen de ogen het gezichtsveld de afmetingen van de gulden rechthoek heeft (de zijden verhouden zich als de gulden snede, zie Adrian Bejan, Constructal Law; www.constructal.org); daardoor is de gulden snede de geest van nature vertrouwd en wordt daardoor ook (zij het vaag bewust) opgemerkt.
Leonardo van Pisa
Fibonacci (1170-1250)
Italiaanse wiskundige
2 De gulden snede
Geschiedenis
Verhandelingen over de gulden snede komen we aanvankelijk alleen op wiskundig gebied tegen. Deze verhouding werd waarschijnlijk ontdekt door Theano, de vrouw van Pythagoras. Zij was arts en leerlinge van zijn school, de pythagoreeërs genoemd. Plato bouwde later voort op de leer van Pythagoras en beschreef die in zijn boek Timaios, waarin ook de gulden snede wordt genoemd.
De gulden snede wordt ook vermeld door de Griekse wiskundige Euklides in zijn boek Elementen. Daarin geeft hij de eerst bekende definitie van de gulden snede, die hij aanduidde als 'extreme en gemiddelde verhouding'. Zijn verhandeling over het onderwerp werd in 1509 aan de vergetelheid ontrukt door de Italiaan Luca Pacioli. In zijn 'De Divina Proportione' noemt deze de gulden snede de 'goddelijke verhouding'. (bron: o.a. Wikipedia)
Algebra
De gulden snede hangt algebraïsch samen met de rij van Fibonacci en de rij van Lucas; zij behoren tot de 'elementaire getaltheorie', waaraan Fibonacci belangrijke bijdragen heeft geleverd.
De rij van Fibonacci begint met de getallen 0 en 1, die van Lucas met 1 en 3. De rijen worden gevormd door: de som van de laatste twee getallen;
- de rij van Fibonacci wordt daardoor:
0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55... (bv. 3+5=8);
Edouard Lucas
(1842–1891)
Franse wiskundige
1,3,4,7,11,18,29,47,76,123... (bv. 3+4=7);
- de getallen verhouden zich ten slotte als de gulden snede bv. 34:55=0,6181... en 47:76=0,6184...
Lucas was degene die de aandacht op Fibonacci vestigde.
Er zijn meerdere van dit soort rijen met andere begingetallen, waarbij verderop in de rij deling van de elementen op de gulden snede uitkomt.
Meetkunde
De gulden snede wordt meetkundig gevormd door een zodanige verdeling van een lijn (van bijvoorbeeld 1 meter) in twee delen, dat de verhouding tussen het kleine deel (b) en het grote deel (a) dezelfde is als de verhouding tussen het grote deel (a) en hun beider geheel, hun som (a + b); rekenkundig uitgedrukt:
b : a = a : (a + b)
Daar de som (a + b) gelijk is aan 1, is b : a = a. Bij de breuk die samenhangt met de gulden snede (b : a) is de noemer van de breuk (a) gelijk aan de uitkomst van de breuk (ook a). Er is slechts één breuk waarbij dat het geval is.
Als a = 0,618 dan is b (1-a) = 0,382.
En
0,382 : 0,618 = 0,618(!)
3 Unieke breuk
Deze unieke breuk geeft de verhouding weer van de gulden snede; de uitkomst is 0,6180… → ∞. De breuk gaat door tot in het oneindige en het getal van de gulden snede wordt daardoor gekenmerkt door oneindigheid.
Het getal is algebraïsch (benaderend) te berekenen en de verdeling van een lijnstuk volgens de gulden snede is meetkundig te construeren.
Alleen bij de drievoudigheid van de gulden snede is er een zodanige verhouding tussen de drie lijnstukken, dat er een innige samenhang tussen de delen en hun beider geheel bestaat.
Doordat deze verhouding algemeen voorkomt in de schepping (vooral in het plantenrijk) en door de ermee samenhangende algemeen voorkomende schoonheidsbeleving, verwijst deze naar de algemene oorsprong van zowel alle menselijke geesten als de schepping: de goddelijke algeest. Dit is de reden waarom de gulden snede ook de 'goddelijke verhouding' (proportio divina) wordt genoemd.
Het denken is het vermogen waarmee de geest vormen kan scheppen in het eigen geestelijke licht en deze vormen in denkbeelden uit te drukken. Als het denken door wijsheid wordt gekenmerkt, dan zijn de denkbeelden niet alleen aannemelijk, maar getuigen zij ook van schoonheid. Het is aangenaam om naar de ontvouwing van wijze denkbeelden te luisteren, doordat zij schoonheid bezitten.
De (uitgebreide) wiskunde die samenhangt met de gulden snede toont aan, dat de wijsheid van het wiskundige denken de achtergrond is van de als algemeen geldend ervaren schoonheidsnorm: de verhouding van de gulden snede. Deze is overal terug te vinden waar schoonheid in de verhouding van vormen, klanken en kleuren is waar te nemen - niet alleen in Gods schepping en in allerhande levensvormen in de natuur, maar ook in menselijke scheppingen, in de kunstvormen van een cultuur.
Het feit dat de wiskundige eigenschappen van de gulden snede overal in de schepping terug zijn te vinden en vooral in het menselijke lichaam, laat zien dat wiskundig denken door de schepper, naast liefde, de oorzaak is van de schepping. Wiskunde is de grondslag van de schepping, wat ook in de wiskunde van de natuurkundewetten herkenbaar is. Klik hier voor een artikel over dit onderwerp.
Dat er ook afwijkingen van de gulden snede zijn te vinden, komt voort uit de vrijheidsgraad die in de schepping aanwezig is om voor de mens de vrijheid van keuze mogelijk te maken. Door deze keuzevrijheid heeft de mens de mogelijkheid zijn eigen vermogens te leren gebruiken en zo door zelfverwerkelijking geestelijk te groeien.
Klik hier voor een moderne toepassing van de gulden snede en klik hier voor een artikel van Scientias over dit onderwerp.
4 Drievoudigheid
In het werk De huishouding van God deel 3 van Jakob Lorber zet Gods heilige geest uiteen dat de verhouding die met de gulden snede overeenkomt het beginsel is waarmee de schepping is opgebouwd.
Als een geheel in twee van elkaar verschillende delen wordt verdeeld, dan blijft de onderlinge samenhang tussen de drie zo gevormde zelfstandigheden bestaan, als de beide delen en het geheel zich verhouden als de gulden snede of de goddelijke verdeling. Alleen bij deze verdeling blijft in de delen ook het geheel tot uitdrukking komen; zij verwijzen namelijk door hun onderlinge verhouding naar hun beider oorspronkelijke eenheid. Zij geven de eenheid in de verscheidenheid weer. Onderdelen die samen in deze verhouding een geheel vormen, worden door schoonheid gekenmerkt.
Deze goddelijke verdeling vormt een drievoudigheid. Zij is een weergave van de verhouding tussen de drie spelers in het eeuwige en alomvattende ontwikkelingswerk dat Gods schepping heet: de algeest, de heilige geest en de algeestvonk, de menselijke geest. Als de menselijke geest door het streven naar zelfverwerkelijking en hereniging zijn juiste plaats inneemt, de plaats zoals die in de schepping is bedoeld, dan nemen zij er alle drie in de juiste verhouding aan deel, nemen zij op evenredige wijze de hun toekomende plaats in.
De algeest is als vadermoeder het geheel. De menselijke geest als Gods godenkind vormt het kleine deel. De heilige geest staat tussen beiden in als de tussengeest en heeft als het grote deel met beiden een evenredige verhouding (de gulden snede wordt ook de 'middelste evenredige' genoemd, aangezien het middelste lijnstuk de evenredigheid met het kleine lijnstuk en het geheel bepaalt). De heilige geest hoort zowel bij God als vadermoeder als bij de menselijke geest als Gods godenkind. Deze geestelijke verhouding is de oorzaak van het bestaan van de gulden snede in Gods schepping.
Volgens de verhouding van de gulden snede is:
- de verhouding tussen de menselijke geest en de heilige geest dezelfde als de verhouding tussen de heilige geest en de algeest; of:
- de verhouding tussen het kleine deel (b) en het grote deel (a) is dezelfde als de verhouding tussen het grote deel (a) en hun geheel (a + b);
- deze zin wordt algebraïsch weergegeven als de formule: b : a = a : (a + b)
- en meetkundig als de breuk 0,618.
Doordat (a + b) = 1, wordt de algebraïsche vergelijking b : a = a. In woorden: de verhouding tussen de mens en de heilige geest is gelijk aan de heilige geest.
De waarde (a) van de heilige geest is dat die een eenheid vormt met de algeest (a+b). De heilige geest is niets anders dan een uitbeelding van de algeest in een andere, voor de mens herkenbare vorm, maar de heilige geest blijft altijd in een toestand van eenheid met de algeest. De algeest zélf (a + b) spreekt en handelt door de heilige geest (a). De rechterkant van de vergelijking is daardoor gelijk aan a.
In de linker kant van de vergelijking b : a = a heeft de menselijke geest als algeestvonk een betrekkelijke zelfstandigheid (b) en staat daardoor hier in een bepaalde verhouding tot de heilige geest (a); maar toch is dit tegelijkertijd ook gelijk aan de rechter kant, waarin de menselijke geest door de naadloze overgang óók een onwrikbare eenheid met de algeest vormt, waarvan het voorbeeld echter als eerste in de vorm van de heilige geest (a) aan de mens is verschenen.
Aan de linkerkant van de vergelijking staat de toestand die de betrekkelijke verdeeldheid en zelfstandigheid beschrijft, aan de rechterkant die van de tegelijkertijd bestaande volstrekte eenheid. Aan de ene kant staat de toestand van zelfverwerkelijking, waarin de menselijke geest zich nog moet ontwikkelen met de heilige geest als voorbeeld; aan de andere kant staat de toestand die de hereniging vertegenwoordigt, die van het bereiken van de toestand die overeenkomt met die van de heilige geest; maar de menselijke geest, die zichzelf aan het verwerkelijken is, werkt tegelijkertijd ook aan de hereniging.
Deze verhoudingen werden door Jezus verwoord tijdens het laatste avondmaal, waarbij hij woorden sprak die zich tot elkaar verhouden als de gulden snede b : a = a, namelijk:
'… dat zij (b) één zijn (a) zoals wij (a)' (Joh. 17:11 e.v.).
Deze verhouding tussen de leerlingen, Jezus en de Vader (de algeest) werd door Paulus 'het mystieke lichaam van Christus' genoemd (1 Kor. 10:16), de geestelijke gemeenschap met de heilige geest waar de gelovigen deel aan hebben.
5 Het hermetisme en de gulden snede
Uit het Corpus hermeticum I ook Poimandres genoemd (een samenvatting):
§4. Gelijk met deze woorden veranderde zijn (Poimandres') uiterlijk en meteen werden alle dingen voor mij geopend. In een oneindig visioen schouwde ik alle dingen in een zacht en vreugdevol licht - wat mij in verrukking bracht. Maar op een deel ervan kwam duisternis neer, vreselijk en somber, kronkelend en golvend als een slang. Toen veranderde de duisternis in een soort vochtig wezen [de mens], onbeschrijflijk heen en weer geslingerd, rook uitspuwend als uit een vuur, jammerend en kreunend.§5. Vervolgens daalde uit het licht een heilig woord op dat wezen. En naar boven sprong er een zuiver vuur uit, licht was het en levendig. Ook de lucht, het vuur, de aarde en het water werden door het geestelijke woord, dat hen doordrong, bewogen.
In Poimandres stelt deze slang of draak zowel duisternis én licht voor: het is Eros die als duistere, zintuiglijke liefde moet worden omgevormd tot kosmische lichtkracht; evenals de vier elementen oftewel geestelijke vermogens.
§6. Toen zei Mensherder: "Hebt ge de bedoeling hiervan begrepen?" Ik zei: "Neen, maar ik wil het weten." Hij zei: "Het licht ben ik, uw God, geest, degene die vóór de uit de duisternis ontstane vochtige natuur is; het uit het licht komende woord is de zoon van God. Weet dat wat in u ziet en hoort, het woord van de Heer is, maar geest is God, vader. En niet zijn ze van elkaar gescheiden, want het één zijn van dezen is het leven. Begrijp zo het licht en maak u ermee bekend."
Het heilige of geestelijke woord ('hieros logos'), dat uit het licht afdaalt, werd in het hermetisme opgevat als de geleidegeest van de mens, de helper in zijn strijd tegen het kwaad. Maar in de Griekse wiskunde betekende logos ook: uitkomst van de algebraïsche verhouding tussen twee grootheden. In de verhouding a : b = c betekent c de logos van de verhouding tussen a en b.
De pythagoreeërs ontdekten een unieke verhouding, die de middelste evenredige en later de sectio divina of gulden snede werd genoemd: een lijnstuk wordt zodanig in twee delen verdeeld, dat de verhouding van het kleinste deel a tot het grootste b gelijk is aan de verhouding van het grootste deel b tot hun beider som: a : b = b : (a + b). Beide delen hangen onwrikbaar samen met elkaar en hun beider geheel. Plato werkt dit later uit in zijn boek Timaios.
De verhouding tussen het goddelijke licht en de daaruit afdalende logos is dezelfde als die tussen de logos en de mens; of met andere woorden: de goddelijke algeest : de heilige geest = de heilige geest : de mens.
In Jezus' toespraak tot zijn leerlingen tijdens het Laatste Avondmaal verwijst hij meermalen naar deze verhoudingen tussen God, Jezus als de bemiddelaar en de mens.
6 Gods schepping
In heel Gods schepping is vanaf het allereerste begin in levensvormen van planten en dieren de gulden snede te herkennen in de verhoudingen van vormen die schoonheid bezitten. Al in het begin van het Paleozoïcum kwamen bijvoorbeeld de eencellige straaldiertjes (Radiolariae) voor met uitwendige kiezelzuurskeletjes, die volgens regelmatige veelvlakken zijn gevormd: het achtvlak (oktaëder), twaalfvlak (dodekaëder) en twintigvlak (ikosaëder) komen voor. De ruimtelijke vormen van die regelmatige veelvlakken hangen samen met de gulden snede; inwendig zijn er drie gulden rechthoeken in aan te brengen, die zich ruimtelijk verhouden volgens de drie dimensies.
Tijdens het Trias- en Juratijdperk verschenen de zaadplanten met bloemen, die vanaf het begin de kenmerken van de reeks van Fibonacci en daardoor van de gulden snede bezaten. De waterlelie was waarschijnlijk de eerste bloeiende plant; de bloemblaadjes van de bloem zijn volgens de gulden snede over de bloembodem verdeeld. Bij de reusachtige plant Puya raimondii in Peru, een levend fossiel uit het Triastijdperk, zijn de Fibonaccispiralen duidelijk te zien, alle onderdelen van deze bijzondere plant beantwoorden eraan. Tijdens dat tijdperk leefden bijvoorbeeld ook de Ammonieten, weekdieren met een hoorn die een met de gulden snede samenhangende logarithmische spiraal vertoont.
Overal waar in het planten- of dierenrijk sprake is van een schone vorm, is de gulden snede in de verhoudingen herkenbaar; datzelfde geldt bijvoorbeeld voor de spiraalvormige beweging van hoge- en lagedrukgebieden en wervelwinden op aarde en voor veel spiraalvormige sterrenstelsels in het heelal. Ook de vorm van de ontwikkelde, menselijke geestgedaante - die een weergave is van de geestelijke vermogens - is in de ontwikkelde toestand met de schoonheid van de gulden snede in overeenstemming. Daardoor zijn in de schone vorm van het menselijke lichaam de verhouding van de gulden snede in de verhoudingen van de onderdelen van gezicht, handen, romp en ledematen, terug te vinden. Aangezien ook de menselijke geest Gods schepping is, is door de eeuwen heen de gulden snede - onbewust of bewust - tot uiting gekomen in de voortbrengselen van menselijke scheppingsdrang in bouw-, beeldhouw- en schilderkunst, zoals bijvoorbeeld in mozaïeken in moskeeën uit de dertiende en veertiende eeuw.
7 Rekenkundige bewerkingen
1. De algebraïsche berekening van de gulden snede
Stel het lijnstuk AB wordt door het punt C in twee verschillende stukken verdeeld. Hoe groot moeten de lijnstukken AC en BC zijn zodat hun verhouding die van de g.s. is: AC/BC = AB/AC?
Stel de lengte van lijnstuk BC is 1 en die van AC is x. In de vergelijking AC/BC = AB/AC kan dan worden ingevuld: x / 1 = (x + 1) / x.
Gedeeld door 1 kan vervallen en door kruiselings te vermenigvuldigen met x kan die vergelijking worden geschreven als: x² = x + 1, of x² – x – 1 = 0.
Dit zijn vierkantsvergelijkingen die zijn op te lossen met behulp van de abc-formule.
Er zijn twee oplossingen: x1 = (1 + √ 5)/2 en x2 = (1 – √ 5)/2.
De waarde x2 is negatief, wat voor een lijnstuk niet mogelijk is.
Het uitrekenen van x1 = (1 + √ 5)/2 geeft als uitkomst 1,618, het getal van de g.s., dat wordt aangegeven met de Griekse hoofdletter Φ Fie (de breuk 0,618 met de Griekse letter φ fie).
Dit is het wiskundige bewijs voor het bestaan van Φ (Phi). Lijnstuk AC is dus 1,618 keer zo lang als lijnstuk BC en ook lijnstuk AB is 1,618 keer zo lang als lijnstuk AC.
2. De rij van Fibonacci heeft bijzondere rekenkundige eigenschappen:
a. Een eigenschap van dit soort Fibonacci-achtige rijen is het volgende.
Neem twee opeenvolgende getallen van de rij, bijvoorbeeld 34 en 55. Als 55 wordt gedeeld door 34, dan is de uitkomst 1,618; dit getal wordt Φ (Griekse hoofdletter Phi) genoemd, het getal van de gulden snede, het gulden getal.
Wordt echter omgekeerd 34 gedeeld door 55, dan is de uitkomst 0,618, het getal φ (Griekse letter phi), de gulden snede als verhouding.
Nu geldt dat 1/Φ = φ, in woorden: de omgekeerde (reciproke) waarde van 1,618 is 0,618, is dus Φ - 1.
Het getal Φ is een getal, waarbij 1 gedeeld door Φ dezelfde uitkomst geeft als Φ min 1. (!)
Deze bijzonderheid is uitsluitend op het gulden getal Φ, het getal van de gulden snede, van toepassing.
In cijfers:
34/55 = 0,618 (φ)
55/34 = 1,618 (Φ)
1,618/0,618 = 2,618, maar omgekeerd: 0,618/1,618 = 0,382, en
0,618 + 0,382 = 1; deze getallen (0,618 : 0,382) vormen de verhouding van de gulden snede.
b. Neem willekeurig drie opeenvolgende getallen van de rij, kwadrateer het middelste getal, en vermenigvuldig het eerste en derde getal met elkaar. Het verschil tussen de uitkomsten is altijd 1.
Voorbeeld: neem 2, 3 en 5. 3² = 9 en 2 x 5 = 10. 10 - 9 = 1.
c. Neem willekeurig vier opeenvolgende getallen van de rij. Vermenigvuldig de beide buitenste en beide binnenste. De eerste uitkomst is 1 meer of 1 minder dan de tweede.
Voorbeeld: neem 2, 3, 5 en 8. 2 x 8 = 16 en 3 x 5 = 15. 16 - 15 = 1.
d. De som van willekeurig tien opeenvolgende getallen van de rij is gelijk aan 11 maal het zevende getal van de tien.
Voorbeeld: neem 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 en 89. Hun som = 231 en 11 x 21 = 231.
e. De optelsom van elke tien opeenvolgende rij getallen uit de rij is deelbaar door elf.
Voorbeeld: 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 en 144 = 374; 374/11 = 34.
f. Kwadrateer 1,61803398874989, de uitkomst is: 2,61803398874989, het getal achter de komma blijft gelijk.
^