C.J. Snijders en M. Gout - De Gulden Snede

Bewerking en aanvulling van het boek van Ir. C.J. Snijders door prof. ir. M. Gout
Vierde herziene druk
Uitgeverij Synthese, Den Haag 2007
ISBN 978 90 62 71 986 0 NUR 730

Inhoud

Voorwoord 9
Inleiding 12
De reeks van Fibonacci 14
De getallen 3, 4 en 5 15
Ad triangulum en ad quadratum 17
De rol van het boek 'Liber abacci' van Leonardo Pisano 20
De 'dieci libri' van Vitruvius 22
De construetie van de vijfhoek 24
De regelmatige veelvlakken 25
De dodekaëder 27
De 'platonische academiën' 28
De 'Grand Tour' 32
De mathematische 'verschijningsvormen' van de gulden snede 34
De vijfpuntige ster 39

De gulden snede in de natuurkunde 42
De gulden snede in het menselijke lichaam
De gulden snede in de dierenwereld 52
De gulden snede in de plantenwereld 54
De gulden snede in de bloemenwereld 56
De gulden snede in de decoratieve kunst
De gulden snede in het ontwerp van historische bouwwerken 63
De Gouden Eeuw in ons land 66
Het stadhuis van Amsterdam 67
De schilderkunst in de Gouden Eeuw 75
De gulden snede in de papierformaten 76
De compagnonnage 78
De stijlgroep en de gulden snede 81
De gulden snede, de vijfhoek en de vijfpuntige ster 83
Bibliografie 89

Voorwoord
Ieder die een passer en een liniaal heeft leren hanteren, kan een driehoek met drie gelijke zijden (gelijkzijdige driehoek genaamd) en een vierkant (met vier gelijke zijden en vier hoeken van 90°) op papier tekenen. Maar, een vijfhoek met vijf gelijke zijden en vijf hoeken van 72° is ook met passer en liniaal (op zgn. geometrische wijze) te construeren. Bovendien is deze figuur de grondslag van een verhouding, die de gulden snede is genoemd, welke naam inhoudt, dat dit de 'mooiste (schoonste) van alle bestaande verhoudingen is'.
De naam 'gulden snede' of 'Sectio Divina' komt pas rond de 15e eeuw naar voren, voornamelijk in geschriften en tekeningen van Leonardo da Vinci, maar de verhouding wordt al in de Oudheid beschreven.

Het is duidelijk, dat de regelmatige zeshoek en achthoek nauw verwant zijn aan de driehoek en het vierkant en in dezelfde cirkels getrokken kunnen worden. Ditzelfde geldt uiteraard ook voor de tienhoek en de vijfhoek. Maar naast deze genoemde veelhoeken en hun verdubbelingen moeten we opmerken, dat er geen andere veelhoeken op een geometrisch aanvaardbare wijze geconstrueerd kunnen worden. Dus de zevenhoek, de negenhoek, elfhoek, dertienhoek, veertienhoek, vijftienhoek, enz., zijn niet construeerbaar met passer en liniaal; dat zijn alleen de veelhoeken met drie, met vier en met vijf zijden! Hieruit mag (9) de bijzondere positie van deze groep (drie-, vier- en vijfhoek, met hun verdubbelingen) geconcludeerd worden! En zoals in dit boek duidelijk gemaakt wordt, is de schilderkunst, de architectuur, de muziek en ook de planten- en dierenwereld structureel gebaseerd op de geometrische structuren van deze drie veelhoeken: de driehoek, het vierkant en de vijfhoek.

Het is dan ook verbazingwekkend, dat in de 15e druk van het in Engeland gezaghebbende boek 'Freemasons' Guide and Compendium' van Bernard E. Jones de volgende uitspraak voorkomt: 'The pentalpha is not so easily made, as it is necessary to divide the circumference of the circle into five equal divisions, a matter of trial and error'. ('De vijfhoek is niet zo eenvoudig te maken, omdat het daarvoor nodig is de cirkelomtrek in vijfgelijke delen te verdelen, een kwestie, die sleehts met proberen bereikt kan worden').
Het mag toch wel droevig genoemd worden dat in Engeland een dergelijk boek sinds 1950, vijftien herdrukken kan beleven (waarvan enkele met het predicaat 'verbeterd') zonder dat iemand erop gewezen heeft, dat met die uitspraak de kern van de geometrie onderuit wordt gehaald. Maar, aan de andere kant blijkt hieruit hoe weinig men weet van de betekenis van de vijfhoek en de vijfpuntige ster en van de grondslagen van de gulden snede, die zich overal manifesteert, maar vooral in de ons dagelijks omringende wereld van planten en bloemen.

"Das schonste aller Bänder ist nun das, welches das Verbundene und sich selbst soviel wie moglieh zu einem macht; das aber vermag seiner Natur nach am besten ein gegenseitiges Verhältnis zu bewirken.Wenn sich nämlich von irgendwelchen drei Zahlen oder Massen oder Flächen die mittlere zur letzten wie die erste zu ihr sich verhält, und so auch die letzte (10) zur mittleren wie diese zur ersten, so folgt, indem die mittlere zur ersten und letzten wirel und die letzte und erste beide zu mittleren, daraus notwendig, dasz alle dieselben seien, indem sie aber untereinander zu demselben werden, dass alle eins sein werden."
Plato Timaios 32a, vertaling Friedrieh Schleiermacher

"Maar met slechts twee dingen een goede samenstelling maken, zonder een derde, is een onmogelijkheid. Er moet immers in het midden een bindmiddel komen, dat de twee samenvoegt. Van alle bindmiddelen is nu dit het beste, dat én zichzelf én de verbonden termen zo volledig mogelijk tot een eenheid maakt. En dat vermag, van nature uit, de evenredigheid het fraaist te verwezenlijken. Neem immers drie getallen of massa's of krachten (A, B en C). Wanneer nu het middelste (B) staat tot het laatste (C) zoals het eerste (A) staat tot het middelste (B), en, omgekeerd, als het middelste (B) staat tot het eerste (A) zoals het laatste (C) staat tot het middelste (B): dan zal, wanneer het middelste (B) eerste en laatste wordt, terwijl het eerste (A) en het laatste (C) beide op hun beurt middeltermen worden, alles onvermijdelijk eender blijven; en, daar ze onderling eender blijven, zullen ze ook alle één zijn."
Plato Timaios 32a, vertaling drs. Xaveer de Win

Prof. ir. M. Gout
terug naar de Inhoud

Inleiding
In de voorafgaande - waarschijnlijk vrij betrouwbare - vertalingen van de oorspronkelijke tekst van Plato's Timaios wordt door deze Griekse filosoof aangegeven dat er een absoluut schoonheidsideaal bestaat dat niet afhankelijk is van tijdsgebonden modeverschijnselen. De woorden die Plato gebruikt, zijn beter te begrijpen als men ze in een formule uitdrukt, waarbij men 'die Erste' de naam A geeft en 'die Mittlere' de naam B. Dan staat er naar de mening van vele Platokenners: A verhoudt zich tot B op dezelfde wijze als B zich verhoudt tot C, wat de som van A en B is; of in een mathematische formule: A : B = B : (A + B). Plato noemt voor de waarden van A, B en voor (A + B) de mogelijkheden van 'irgendwelchen drei Zahlen oder Massen oder Flächen'. Het kunnen dus lengtes van lijnen zijn, maar ook volumina of oppervlakken.
In de loop van de eeuwen zijn er vele geschriften gewijd aan de achtergronden van dit 'schoonheidsideaal', maar het zijn de grote kunstenaars die de 'gulden snede' toegepast hebben en de kennis overgedragen hebben van generatie naar generatie. Maar bij de schilderijen, de architectuurprojecten of de muzikale meesterwerken, is door deze kunstenaars niet op een voor de leek begrijpelijke wijze aangegeven hoe die toepassing nu precies heeft plaatsgevonden. Als Rembrandt het hoofd van Christus op een gulden snede-verhouding in zijn 'Honderd Guldensprent' plaatst, (12) dan kan dat alleen bij een zorgvuldige analyse van deze prent worden bewezen.

Wat is de gulden snede?
De gulden snede is een 'verhouding', daarom wordt ook wel gesproken van de 'gulden verhouding' of 'goddelijke verhouding' als vertaling van de begrippen 'Sectio Aurea' of 'Sectio Divina', die in de Renaissance in Italië veelvuldig werden gebruikt. Maar het is een zeer speciale verhouding die we, als we daarnaar zoeken, overal in de natuur en in de kunst tegenkomen, die bijdraagt tot de schoonheid van alles wat ons omringt en die daarom de gulden of ook wel de heilige verhouding wordt genoemd, de Sectio Divina van de natuuronderzoekers uit de 16e eeuw.

Wanneer we een voorwerp van een bepaalde lengte, bijvoorbeeld van 1 m (een lat, een stok, een gespannen koord) op een willekeurige plaats doorsnijden, dan verdelen we die lengte in twee stukken, die in de regel niet even lang zijn, maar tussen wier lengtes een zekere verhouding bestaat. Maar ook staan beide stukken in een zekere verhouding tot de gehele lengte.
Alleen in één geval is die verhouding eenvoudig, namelijk als we de bovengenoemde 100 cm precies in tweeën delen. Dan zijn de beide stukken elk 50 cm lang en zij verhouden zich tot de gehele lengte als 0,5 : 1, als 50 : 100. Verdelen we nu die 100 cm in een kleinste stuk van 40 cm en een grootste stuk van 60 cm, dan verhoudt zich het kleinste stuk tot het grootste als 40 : 60 of als 0,667 : 1. Het grootste stuk verhoudt zich tot de gehele lengte als 60 : 100 of als 0,600 : 1. We merken hierbij op dat de waarde 0,667 groter is dan 0,600. Verdelen we nu de 100 cm in een kleinste stuk van 35 cm en een grootste stuk van 65 cm, dan verhoudt zich het kleinste stuk tot het grootste als 35 : 65 of als 0,539 : 1. Het grootste stuk verhoudt zich tot de gehele lengte als 65 : 100 of als 0,650 : 1. In dit geval is de waarde 0,539 kleiner dan 0,650.

Nu moet er dus ook een verdeling te vinden zijn, waarbij de verhouding tussen het kleinste en het grootste stuk even groot is als de verhouding tussen het grootste stuk en het geheel. Die verdeling kan met behulp van algebra worden vastgesteld en dan bedraagt de lengte van het kleinste stuk 38,2 cm en die van het grootste stuk 61,8 cm, als we bij het meten niet verder gaan dan de grootte van een mm. Het kleinste stuk verhoudt zich dan tot het grootste als 38,2 : 61,8 of als 0,618 : 1, en het grootste stuk verhoudt zich tot de gehele lengte als 61,8 : 100 of als 0,618 : 1, dus nu zijn de twee verhoudingen aan elkaar gelijk!
Willen we de maat nauwkeurig weten, dan blijkt, dat het getal 0,618 in werkelijkheid de waarde moet hebben van ½.(√5 - 1) = 0,6180339887... Dit getal kreeg al in de Middeleeuwen de naam van dc Griekse letter Φ (phi van Fibonacci). De aangegeven waarde van Φ verkrijgen we wanneer we x uitrekenen in de formule x = 1/x - 1.

De reeks van Fibonacci
Uit het voorgaande is het duidelijk, dat de getalswaarde van de gulden snede niet exact te bepalen is. Dat komt door de √5, die slechts bij een benadering in een getal is uit te drukken, evenals de √2, de √3, enz. Toch is er voor de gulden snede al in een ver verleden een wijze van benadering bekend geworden, die de naam is gaan dragen van Fibonacci (Leonardo van Pisa), een Italiaan die in 1202 deze reeks getallen beschreef. In principe komt zijn reeks voort uit het optellen van twee getallen om daarna de som van de twee weer op te tellen bij het grootste, voorgaande getal. Beginnen we bij twee maal het getal 1, dan ziet de reeks er als volgt uit: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987. (14)
Naarmate we de reeks verder voortzetten, dan benaderen we de hierboven genoemde waarde van Φ = 0,6180339887... met een steeds groter wordende nauwkeurigheid, als we een getal uit de reeks delen door het volgende getal. Delen we bijvoorbeeld het getal 610 door 987, dan komt daaruit een waarde van 0,6180344478 ...

De getallen 3, 4 en 5
We hebben gezien dat de waarde van Φ voortkomt uit een formule waarin het getal 5 de hoofdrol speelt. We zullen ook in onze verdere beschouwingen de relatie van de gulden snede met het getal 5, met de regelmatige vijfhoek en met de vijfpuntige ster (pentagram) naar voren brengen. Bestuderen we de getallenfilosofie in de oudheid, dan blijkt dat het getal 5 in nauw verband werd gebracht met de getallen 3 en 4, en eigenlijk uit die getallen is voortgekomen. We lezen daartoe de geschriften van de Griekse filosoof en schrijver Plutarchus (ca. 46-120 na Chr.), die daarover in zijn 'Over Isis en Osiris' opmerkte, dat deze getallen deel uitmaakten van de drie-eenheid, die eeuwenlang het religieuze denken van Egypte heeft beheerst. In hoofdstuk 56 van dit boek vinden we o.a. de volgende uiteenzetting:

Osiris, Isis en Horus

"Het meest volmaakte en tevens het meest goddelijke bestaat uit drie beginselen en wel de geest, de materie en het product van hun onderling samengaan... Het schijnt, dat de Egyptenaren de structuur van het heelal met een rechthoekige driehoek hebben vergeleken, waarvan de opstaande zijde het getal 3 vertegenwoordigde, de liggende zijde het getal 4 en de schuine zijde het getal 5. De opstaande zijde moet als het symbool van het mannelijke beginsel (Osiris) worden beschouwd, de basis als symbool van het vrouwelijke (Isis) en de schuine zijde als hetgeen uit de vereniging van beide andere geboren wordt, het kind (Horus)."

Afbeelding: voorstelling van de Egyptische 'drie-eenheid', bestaande uit de staande Osiris, de zittende Isis en hun zoon Horus, gesymboliseerd door de getallen 3, 4 en 5, de getallen van de eerste driehoek die aan de Stelling van Pythagoras beantwoordt.

Wij kennen bovenstaande driehoek onder de naam 'Stelling van Pythagoras', die in onze tijd toegepast wordt om bij het uitzetten van bouwwerken de rechte hoek te bepalen, maar welke handeling momenteel door het gebruik van speciale apparatuur is verdrongen. Het staat inmiddels wel vast, dat de Griek Pythagoras, die ca. 530 v.Chr. een school in Croton in Zuid-Italië stichtte, zijn kennis tijdens een jarenlang verblijf in Egypte heeft opgedaan.
De cultuur in dat land werd gedurende vele eeuwen beheerst door een 'Drie-eenheid' van een spiritueel beginsel naast een materieel beginsel, welke gezamenlijk tot een synthese dienden te komen. Plato beschrijft dit 'Drie-eenheid beginsel' ook en vergelijkt het in zijn 'Timaios' en in de 'Republiek' met het huwelijk van een man (het spirituele) en een vrouw (het materiële), uit welk huwelijk een kind wordt geboren. Dit kind zou dan het schoonheidsideaal vormen, dat met het getal 5 vergeleken werd. (16)
terug naar de Inhoud

De gulden snede in de natuurkunde

De getallen uit de reeks van Fibonacci, die al vrij spoedig in de onderlinge verhouding der gulden snede verschijnen, treffen we ook in de natuurkunde aan, en wel in de trillingsleer, die de grondslag vormt van een groot deel der natuurkunde. Dit komt het beste tot uitdrukking in de geluidsleer.
Klemmen we een gespannen snaar aan beide uiteinden vast en brengen we hem aan het trillen, door hem met een vinger opzij te trekken en dan los te laten of door er met een geharste (42) strijkstok overheen te strijken, dan zien we dat in het midden de uitwijking het grootste is [beweging] en wij noemen dan het midden de buik van de trilling. De beide uiteinden blijven uiteraard op hun plaats en die noemen we daarom de knopen van de trilling [rust]. De afstand tussen twee knopen is dan de halve golﬂengte.
De trilling brengt geluid voort, waarvan de toonhoogte afhangt van het materiaal, de lengte en de spanning van de snaar; deze bepalen namelijk hoe snel de snaar heen en weer trilt. We noemen het aantal trillingen per seconde de frequentie of het trillingsgetal (T). [de frequentie f wordt weergegeven in hertz (Hz), het aantal trillingen per seconde (s) in de vergelijking f = 1/T] Dit trillingsgetal bepaalt de hoogte van de toon.
Het geluid plant zich voort met een snelheid (V) van ca. 300 meter per seconde, die gelijk is voor alle toonhoogten. Hieruit volgt de vergelijking: V=GxT. Hoe kleiner dus de golﬂengte wordt, hoe groter het trillingsgetal en hoe hoger de toon.
Wanneer twee snaren op elkaar afgestemd zijn, dat wil zeggen een zelfde trillingsgetal hebben, en we brengen er één tot trilling, dan gaat de andere vanzelf meetrillen; dit verschijnsel noemen we resonantie en dit geldt natuurlijk ook voor andere voorwerpen die kunnen trillen, bijvoorbeeld de staafjes van een speeldoos. Maar die staafjes vormen geen continue reeks, want elk staafje is iets langer dan het voorgaande en geeft dus een iets lagere toon; de tonen van een speeldoos lopen dus niet continu, maar gaan sprongsgewijze omhoog.

Het geluid wordt opgevangen in ons gehoororgaan en vervolgens worden daardoor de organen van Corti tot trilling gebracht (net zoals bij de staafjes van een speeldoos). We zijn gewend de tonen te verdelen in groepen van 7 die wij aanduiden door de noten A, B, C, D, E, F en G. Op een groep volgt weer een volgende groep, die weer met A begint en de afstand tussen een A en een volgende A noemen wij een octaaf. Een groep van acht opeenvolgende noten noemt men een toonladder en daarvan is de laatste, hoogste toon de octaaf (43) van de eerste, laagste toon. Die toonladder kan met elke toon beginnen, maar de toonladder die met C begint, is de eenvoudigste, om redenen die ons hier te ver zouden voeren.
Wanneer we de toonladder van C horen, dan horen wij dat de afstanden tussen de verschillende tonen niet overal dezelfde zijn. De afstanden C-D, D-E, F-G, G-A en A-B zijn elk een gehele toon, terwijl de afstanden E-F en B-C slechts een halve toon bedragen. Een gehele toonladder omvat dus 12 halve tonen.

1. De meeste componisten hebben hun muziekstukken gebaseerd op het traditionele systeem van de combinatie van hele en halve tonen (in het begin van de 20e eeuw waren er ook enkele, die het twaalftonenstelsel hebben gebruikt, o.a. Arnold Schönberg).
Het traditionele systeem ziet er als volgt uit:

C   D   E  F   G   A   B  C'
  —  —  -  —  —  —  -
   1    1  ½   1    1    1  ½

Daarbij betekent 1 een hele afstand en ½ een halve afstand. In feite zijn er dus tussen C en C' vijf hele en twee halve afstanden. In totaal betekent dat 12 halve afstanden. (44)

2. De trillingsgetallen van C en C' verhouden zich als 1:2, zodat elke halve afstand een verschil in trillingsgetal betekent van ¹²√2 (de twaalfdemachtswortel uit het getal twee).
We noemen nu de trillingsgetallen naast elkaar

T₁  T₂  T₃  T₄  T₅  T₆  T₇  T₈  T₉  T₁₀  T₁₁  T₁₂

3. Vergelijken we nu de trillingsgetallen van de eerste [T₁] en de achtste halve toon [T₈], dan is hun onderlinge verhouding ¹²√2⁸ (de twaalfdemachtswortel uit het getal twee tot de achtste). Als we dit getal uitrekenen dan blijkt de uitkomst hiervan zeer nauwkeurig te zijn: 1,6180… (!)
De conclusie van deze gecompliceerde handeling luidt dus als volgt: de trillingsgetallen van tonen, die onderling 8 halve tonen verschillen, verhouden zich nauwkeurig als de gulden snede.

4. Dit houdt in dat, met name in de verhouding van de lengtes van orgelpijpen, maar ook in de constructie van snaarinstrumenten, de gulden snede een rol moet spelen. En ook dat het menselijke gehoor voor deze verhouding in de muziek gevoelig moet zijn.

gulden snede-passer

Vioolbouwers in het verleden hebben hiermee rekening gehouden, zoals blijkt uit de opmeting van een Stradivarius. Het is bekend dat bij het bouwen van de daarvoor in aanmerking komende instrumenten een speciaal hulpmiddel gebruikt werd, namelijk de gulden snede-passer. Dat is een passer die binnen de beide grote benen nog twee kleinere bezit, waarmee steeds de afstand tussen de grote benen in de verhouding van de m en M aangegeven wordt.

Afb. 2.5. De gulden snede-passer, een hulpmiddel dat de afstand BD verdeelt: in twee stukken BE en ED, waarvan de onderlinge verhouding die van de gulden snede is. (46)
terug naar de Inhoud

Bibliografie
Drs. R.L. Mellema, litt. Ind.: Een interpretatie van de Islam. - Amsterdam 1958, Koninklijk Instituut voor de Tropen.
Moritz Cantor: Vorlesungen über Geschichte der Mathematik. - Leipzig 1900, Druck und Verlag von B.G. Teubner.
Scrite Leonardo Pisano, Matematico del Scolo Decimoterzo, publicati da Baldassare Boncompagni. - (Volume I). - Bibliotheek Rijksuniversiteit Leiden.
J. Raemaekers: Schakels van één keten. Geestelijke stromingen en hun samenhang. - 's-Gravenhage 1926, Uitgave der maçonnieke vereniging tot bestudering van symbolen en ritualen.
Dr. H.E. Timmerding: Der Goldene Schnitt. - Dritte, unveränderte Ausgabe. - Leipzig und Berlin 1929, Verlag und Druck von B.G. Teubner.
G.J.P.J. Bolland: De achtergrond van de Vlammende Ster. - Aantekeningen, uitgewerkt door dr. P.C. Meerum Terwogt. - Leiden 1923.
Gestencilde maçonnieke lezingen, 1960, Derde bundel. (89)
S.W. Tromp, Professor of Geology: Psychical Physics. - Amsterdam 1949, Elsevier.
Dr. Phil. Georg Wolff: Mathematik und Malerei. - Leipzig und Berlin 1916, Druck und Verlag von B.G. Treubner.
Dr. H.A. Naber: Meetkunde en mystiek. - Amsterdam. 1915, N.V. Theosofische Uitgeversmaatschappij.
Max Möckel, Geigenbauer: Das Konstuktionsgeheimnis der alten italienischen Meisten dergoldene Schnitt; im Gezgenbau. - Berlijn 1925, Verlag der Musikinstrumentenzeitung, Moritz Warrschauer.
Dr. Adalbert Goeringer: Der Goldener Se/mitt. - Zweite Auflage, München 1911.
Dr. Constantin von Ettinghausen und dr. Alois Pokorni: Die wissenschaftliche Anwendung des Naturselbstdruckes zur grafischen Darstelling von Pflanzen. - Wien 1856, Druck und Verlag Staatsdruckerei. - Hortus Botanicus, Amsterdam.
Dr. F. Xav. Preiffer: Der Goldene Schnitt und dessen Erscheinungsformen in Mathematik, Natur und Kunst. - Ausburg 1885, Verlag des Literarischen Institutes von Dr. H. Hutler.
Prof. dr. A. Zeisinger: Neue Lehre von den Proportionen des menslichen Körpers. - Leipzig 1854, Rudolph Weigel.
Dr. H.A. Naber: Das Theorem des Pythagoras. Haarlem 1918, Verlag von P. Visser Azn. (90)
Matila C. Ghyka: Le Nombre d'Or, I. Les Rythmes, 13ième edition.
Rudolf Engel-Hardt: Der Goldene Schnitt, im Buchgewerbe. - Leipzig-Reudnitz 1919, Verlag Julius Mäser.
Ernst Kapp: Grundlinien der Philosophie der Technik. Braunschweig 1877, Druck und Verlag von George Westermann.
Theodore Andera Cook: The Curves of Life. - London 1914, Constable and Comp. Ltd.
Dr. Th. Wolff Friedenau: De Gulden Snede. - Leeuwarden 1929, W.H. Eisman.
Reinhold Barmes (München): Der Goldene Schnitt im Accidenz-Satz. - Archiv für Buchgewerbe, Jahrgang 40 (1903); Verlag des Deutschen Buchgewerbe-Vereins.
Jan Poortenaar: De Gulden Snede en Goddelijke verhouding. - Tweede Druk. - Naarden, Uitgeverij 'In den Toren'.
M.A. Brandts Buys: Muzikale vormleer. - Arnhem 1935, Hijman, Stenfert Kroese en van der Zande N.V. Dr. Ch. Hunck-Hellet: Composition et Nombre d'Or dans les Oeuvres peintes de la Renaissanee. - Paris 1950, Editions Vincent Fréal et Cie.
Reinhold Barmes: Der Titelsatz, Seine Entwickung und Seine Grundsätze. Monographien des Buchgewerbes, herausgegeben vom Deutschen Buchgewerbes-Verein. Leipzig 1911, Verlag des Deutschen Buchgewerbe-Vereins.
Le Corbusier, Le Modulor, L'Architecture d'Aujourd'hui, 1950. (92)

terug naar het literatuuroverzicht

terug naar Pythagoras' getallenleer

^