Fractale meetkunde en Fibonacci


Zie het onderwerp 'God, Gods engelen en de mens' in het Menu voor de fractale verhouding tussen die drie.

Inhoud

1. Fractale meetkunde
2. Fractale meetkunde en de rij van Fibonacci en Lucas

1. Fractale meetkunde
Het Latijnse woord 'fractalus' betekent: 'gebroken'; daarvan is afgeleid de wiskundige term 'fractaal'.
Een fractaal wordt gekenmerkt door een wiskundige figuur, die zichzelf in het klein herhaalt. Er is sprake van een 'fractale zelfgelijkvormigheid'.
In de zichtbare wereld komen fractalen tot uiting in afbeeldingen, voorwerpen of gebeurtenissen waarin een breuk optreedt, die zich voortdurend herhaalt en waarbij de delen van de breuk steeds kleiner worden. Het is met andere woorden een zich steeds herhalend patroon van kleiner wordende afmetingen, waarbij de kenmerken van het voorafgaande grotere deel weer tot uitdrukking komen in het volgende, kleinere deel.
Fractalen worden gevormd met behulp van een eenvoudige wiskundige formule. In de vorm van een kringloop wordt steeds de laatste uitkomst daarvan opnieuw ingevoerd in de formule. Zo wordt een voortgaand patroon verkregen. Doordat fractalen zich eindeloos herhalen op een steeds kleinere (of grotere) schaal, worden zij door oneindigheid gekenmerkt.
Fractalen worden gekenmerkt door drie eigenschappen: herhaling, zelfgelijkvormigheid en gebroken dimensie; de wiskundige term hiervoor is 'schaalinvariantie':
- de gebroken dimensie van een fractaal houdt in dat er in iedere dimensie een breuk optreedt;
- de zelfgelijkvormigheid: in iedere herhaling komt dezelfde vorm terug;
- herhaling van de vorm op een kleinere (of grotere) schaal.

Fractalen kunnen worden gevormd door eenvoudige formules die desondanks ingewikkelde patronen voortbrengen; deze patronen herhalen zichzelf voortdurend en zij lijken op natuurlijke vormen. Deze formules blijken ook in de natuur werkzaam te zijn, zoals in de opbouw van de organen van het lichaam, de vormen van planten en bomen, en van bergen en rivieren.
Een boom met zijn stam en kruin is een toonbeeld van de éne stam met zijn fractaal vertakte kruin, waarvan de vele vertakkingen in het klein toch gelijkvormig zijn aan de ene stam; de eigenschappen van de stam zijn in de takken terug te vinden en zo vormen zij een eenheid in verscheidenheid.
Er blijkt een algemene wetmatigheid te bestaan in de wijze waarop er in de natuur patronen worden gevorrmd die zich herhalen. Het wiskundige concept 'fractaal' heeft grote invloed gehad op wetenschappers in de natuurkunde, biologie en astronomie en wordt op veel wetenschappelijke gebieden uitgewerkt.

De Franse wiskundige Gaston Julia beschreef in 1918 als eerste de fractaal als wiskundige vorm.
De Frans-Amerikaanse wiskundige Benoît Mandelbrot bedacht in 1970 het concept van de fractal als computerprogramma. Zijn wiskundige beschrijving van een fractaal, een 'Mandelbrotverzameling', is de functie f(z) = z² + c.
Een toonbeeld van de schoonheid van een wiskundige formule.
Hij verkreeg grote bekendheid met zijn boek The Fractal Geometry of Nature.

terug naar Pythagoras' getallenleer


Voorbeelden

Het zenuwstelsel is opgebouwd met zenuwcellen (neuronen).
Een zenuwcel bestaat uit een cel, een lange axon en zeer vele, kortere dendrieten (zie afbeelding).
Deze dendrieten zijn op meervoudige, fractale wijze vertakt, zoals in de kruin van een boom.

In grote lijnen komt de vorm van de zenuwcel overeen met die van het centrale zenuwstelsel. Daarvan vormen de tussenhersenen de kern (diencephalon, overeenkomend met de cel); van daaruit loopt één ruggemerg naar beneden (het axon) en zeer vele, kortere zenuwbanen, op fractale wijze vertakt, naar de hersenschors (de dendrieten).

De kern van de hersenen zijn de tussenhersenen met een linker en rechter kwab; van daaruit verdelen zenuwvezelbundels zich in de beide hersenhelften, die zich daar verder vertakken in kleinere zenuwvezels en ten slotte uitkomen bij de hersenschorscellen.
Bij de uitvoerende (motorische) zenuwvezels vanuit de hersenschors is het omgekeerde het geval.
Op overeenkomstige wijze beginnen de longen met de éne luchtpijp, die zich verdeelt in de twee bronchiën, daarna in de fijnere bronchioli en ten slotte in de longblaasjes (als een omgekeerde boom).


Zo begint het bloedvatstelsel bij het hart met de éne aorta, die zich vertakt in aan aantal lichaamsslagaders, die zich weer verder vertakken als arteriolen en ten slotte als haarvaatjes in de weefsels uitkomen.
Bij het van daaruit terugvoerende aderstelsel is het beeld omgekeerd: daar ligt het begin in de weefsels (de kruin van de boom) en komt het uit in de aders - als grootste de éne lichaamsader (de stam) - die naar het hart voeren.
Ditzelfde gebeurt met de longslagaders en de longaders in de longen: de longen zijn daardoor tweevoudig (door luchtwegen en bloedvaten) fractaal opgebouwd.

Spieren (1) zijn opgebouwd uit spiervezelbundels (2), die bestaan uit groepen spiervezels (3) en deze groepen spiervezels bestaan uit spiercellen (4).

Een boom heeft één stam, daaraan zitten de grote takken, daaraan weer kleinere zijtakjes en tenslotte twijgjes.

In de grond gebeurt hetzelfde met het wortelstelsel, maar dan in omgekeerde richting.

De boom van Pythagoras is een fractaal bedacht door de Nederlandse wiskundeleraar Albert E. Bosman in 1942 en werd vernoemd naar Pythagoras vanwege de driehoeks-verhoudingen met de kenmerkende rechte hoek. De fractaal wordt opgebouwd door vierkanten en lijkt op de vorm van een dwarsdoorsnede van een broccoli of bloemkool.
Op het eerste vierkant worden onder een hoek van 45° twee kleinere vierkanten gezet. Dit wordt tot in het oneindige toegepast op de nieuw gevormde, steeds kleinere vierkanten (Wikipedia).

De nerven in de bladeren van een boom hebben vanuit de éne hoofdnerf eenzelfde vertakte vorm van zijnerven en daaraan weer zijnerfjes.

Bij varens is de fractale verdeling duidelijk zichtbaar in steeds kleiner worden vertakkingen van het blad (het gehele blad is linksboven getekend).
Varen is in het Latijn Pteridium, afkomstig van Grieks: 'pteris' en 'eides': op een vleugelveer gelijkend.
Bij een vogelveer is namelijk hetzelfde te zien. Daar bevinden zich aan weerszijden van de éne schacht de beide 'vlaggen'; een vlag bestaat uit baarden, de zijtakken van de schacht. Dwars op de baarden staan de fijnere baardjes. De schacht, de baarden en baardjes vertonen samen de fractale vorm.
Ook de zuignappen op de tentakels van de inktvis zijn volgens een fractale vorm gerangschikt.
Een broccoli en een bloemkool blijft steeds dezelfde vorm behouden als de kool zich inwendig vertakt in de vorm van de roosjes.
Ook cumuluswolken hebben de bekende bloemkoolvorm: iedere bolvormige uitstulping uit de wolk heeft van zichzelf ook weer van die uitstulpingen, maar kleiner.

De allereerste meercellige levensvormen verschenen aan het begin van het Ediacara-tijdperk (635-541 miljoen jaar geleden). Zij leefden op de zeebodem.
Zij vertoonden meteen een fractale opbouw, zoals op deze afbeeldingen is te zien, die met een computer-programma zijn gevormd.
Zij vertegenwoordigen de overgang van plantaardige naar dierlijke levensvormen; hun vorm was nog plantaardig, maar zij hadden geen fotosynthese meer.

Dit is Dendrogramma; deze paddestoelachtige levensvorm is waarschijnlijk een diertje uit de familie van de uitgestorven groep Trilobozoa. Het is een levend fossiel, want zij leefden 540 tot 580 miljoen jaar geleden in het precambrium tijdens het Ediacara-tijdperk.
Het leeft ongeveer 1 km diep aan de zeebodem gehecht en is 1 cm hoog. Van boven gezien is het spijsverteringstelsel zichtbaar, dat duidelijk fractale vormen heeft (bv. het deel tussen de rode lijntjes).

Een rivier heeft aan het einde één stroom, die zich stroomopwaarts vertakt in kleinere zijrivieren met daaraan weer nog kleinere zijriviertjes.
De vorm van rivieren wordt omgekeerd veroorzaakt door de vorm van bergen; één berg vertoont kleinere bergjes en die hebben weer nog kleinere rotspartijen.
Sommige kustlijnen hebben een fractale verdeling.
De éne bliksemschicht die zich vertakt in meerdere zijtakken heeft dezelfde vorm als een rivier.

De kristalisatie van veel chemicaliën verloopt op fractale wijze.

Het bekendste voorbeeld is water: als watermoleculen aangroeien aan het éne kristallisatiepunt, gebeurt dat in de vorm van fractale vertakkingen zoals bij een varen of een veer.

De stamboom van de moderne mens, Homo sapiens (de 'verstandige mens'), heeft de vorm van een boom met een stam, takken en zijtakken: een fractale vorm.

Ook de stamboom van het dieren- en plantenrijk heeft een overeenkomende vorm.

Wat is er de oorzaak van dat een bomenrij gevoelsmatig zo'n geheimzinnige indruk op je maakt? Niet alleen de bomen zelf zijn een toonbeeld van fractale meetkunde, maar ook de in de verte vervagende rij. Samen met het pad dat naar de einder voert, is het een drievoudige weergave van de levensweg die de mens als geestelijk wezen begaat.
Foto: beukenlaan onderaan de Hettenheuvel in Montferland
Klik hier voor een onderzoek naar de rustgevende werking van fractalen in de natuur.

Om de kern van het éne sterrenstelsel draaien vele zonnestelsels, in die zonnestelsels draaien om de ene zon de planeten en om de planeten draaien ten slotte hun manen.
In het heelal zijn deze fractaalvormige structuren overvloedig aanwezig, zoals dit spiraalvormige sterrenstelsel, waarvan er miljarden bestaan! (bron: Volkssterrenwacht Amsterdam)

Ons sterrenstelsel, de Melkweg - dat een vorm heeft die lijkt op het hierboven getoonde sterrenstelsel - bevindt zich in de 'Lokale Groep', een 'cluster' van miljarden sterrenstelsels (waaronder Andromeda, dat het dichtst bij het onze staat).
Onze Lokale Groep bevindt zich weer in een 'supercluster' van miljarden van dit soort sterrenstelselgroepen, dat de naam 'Laniakea' heeft gekregen... met ook weer een fractale vorm.
Onze Lokale Groep bevindt zich op de plaats van de rode stip - in een uithoek van ons deel van het heelal.
In de boeken van Jakob Lorber werden deze verhoudingen in het heelal al uitgebreid beschreven; vooral in het Grote Johannes Evangelie deel 2 en deel 6.

Zoals gezegd is een fractaal een wiskundige figuur die zichzelf in het klein vermenigvuldigt; het is een 'fractale zelfgelijkvormigheid'. In de zichtbare wereld komen zij tot uiting in voorwerpen of gebeurtenissen, waarin een breuk optreedt, die zich voortdurend herhaalt en waarbij de delen van de breuk steeds kleiner worden; terwijl de kenmerken van het voorafgaande grotere deel tot uitdrukking komen in het volgende, kleinere deel.
De oorzaak van het bestaan van fractalen is de wijze waarop de goddelijke algeest in zichzelf scheppend werkzaam is. De oerfractaal, de eenvoudigste fractaal is de menselijke geest, die door verdichting van geestelijk licht en geestelijke warmte op bolvormige wijze uit en in de goddelijke algeest is voortgekomen.
Hoewel God de algeest is als de eeuwige oneindigheid en daardoor onbegrensd, is toch in één punt daarvan de algeest alzijdig om dat punt heen en wekt daardoor de indruk een bol of in het platte vlak een cirkel te zijn. Daardoor ook ontstaat door verdichting een menselijke geest als een bolvormige wolk van licht en warmte.


Fractale zelfgelijkvormigheid in de natuur:
twee rijen bomen die steeds kleiner worden
Foto: het eikenlaantje Kerspas, de Kroezenhoek in de Achterhoek


terug naar de Inhoud

terug naar Pythagoras

2. Fractale meetkunde en de rij van Fibonacci en Lucas

De meetkundige rijen van Fibonacci en Lucas worden erdoor gekenmerkt dat de verhouding tussen de elementen van de rijen in het verloop ervan, steeds meer beantwoorden aan die van de gulden snede. Tegelijkertijd worden deze rijen gekenmerkt door de fractale eigenschappen: de elementen komen door optelling van de twee voorlaatste uit elkaar voort (een rekenkundige herhaling) en alle hebben ze met elkaar dezelfde verhouding gemeen, die van de gulden snede (een rekenkundige gelijkvormigheid).

Er kan worden gesteld dat de rijen van Fibonacci en Lucas bijzondere fractalen opleveren: het zijn fractalen waarin de breuken aan de verhouding van de gulden snede beantwoorden.
Het verschijnsel 'fractaal' komt op uitbundige wijze in Gods schepping voor en een aantal daarvan komt overeen met de eigenschappen van de gulden snede.

Hieronder een aantal voorbeelden.
De Fibonacci-spiraal zoals hiernaast is weergegeven, is een fractaalvormig opgebouwde spiraal d.m.v. de getekende vierkanten binnen de gulden rechthoek. De 8 vierkanten vormen een fractale reeks, waarbinnen de Fibonacci-spiraal is te construeren (met kwartcirkelbogen).
De Fibonacci-spiraal en de logaritmische spiraal, waarbij in de formule het getal Φ (1,618) is ingevoerd, vallen vrijwel samen en hebben daardoor een eigenschap van de gulden snede gemeen: na een kwartslag draaiing van de voerstraal is de afstand tot de oorsprong van een punt op de spiraal t.o.v. de vorige afstand, toegenomen in een verhouding die overeenkomt met de gulden snede.
Logaritmische spiralen geven op zichzelf een fractaal weer, want zij worden steeds groter en lopen door tot in het oneindige, maar blijven wat hun vorm betreft aan zichzelf gelijk.

Fractalen hebben vaak de vorm van een spiraal. De functie voor een fractaal is f(z)=z² + c. Als de uitkomst van een bewerking weer opnieuw in deze functie wordt ingevoerd (de herhaling), ontstaat een fractaal. Als door de bewerking een hoek ontstaat, is er sprake van een afbuiging die bij iedere volgende herhaling groter wordt. Daardoor krijgt de fractaal de vorm van een spiraal.

In een pentagram kunnen steeds kleinere pentagrammen worden getekend, er omheen steeds grotere. De vorm wordt herhaald en blijft aan zichzelf gelijk. Een voorbeeld van een meetkundige fractaal die zich in het oneindige kan voorzetten.

Alle lijnstukken van het pentagram komen overeen met getallen uit de rij van Fibonacci en daardoor met de gulden snede.

Deze Mandelbrot-verzameling is niet alleen een fractaal, maar tegelijketijd een logarithmische spiraal. Deze spiraal valt vrijwel samen met de Fibonaccispiraal.

Het bloembed van deze zonnebloem vertoont Fibonacci-spiralen en fractale reeksen ineen.
De knoppen van de buisbloempjes zijn op het bloembed geordend in Fibonacci-spiralen, 34 naar links en 55 naar rechts; twee getallen uit de rij van Fibonacci.
Iedere spiraal is vanuit het midden naar de omtrek een fractale reeks groeiende buisbloemknoppen en reeds geopende buisbloempjes.

De vetplant Aloë vera is een duidelijk voorbeeld van een fractaal opgebouwde plant, maar het aantal Fibonacci-spiraalvormen van de bladeren beantwoordt ook aan het Fibonacci-getal vijf.

De Romanesco bloemkool is een sprekend voorbeeld van fractalen als zich steeds herhalende en kleiner worden de vormen, die aan elkaar gelijkvormig zijn; maar in alle verhoudingen is bovendien de rij van Fibonacci te herkennen. Hier duidelijk getekend als de acht spiralen die naar rechts draaien (rood) en de 13 die naar links draaien (zwart).

Het sterrenstelsel M74 (Messier 74) heeft zich ongestoord door zwaartekracht-invloeden vanaf naburige sterrenstelsels kunnen ontwikkelen. Daardoor hebben de armen ervan vrijwel de vorm van logaritmische spiralen.

 

terug naar de woordenlijst F






^