Pythagoras' tetraktys en het gelijkbenige kruis
Grieks 'tetraktys' betekent: vierheid, groep van vier, viereenheid of viervoudigheid.
De viereenheid
Het begrip tetraktys stond in het middelpunt van de getallenleer van Pythagoras. Om tot de School der pythagoreeërs te worden toegelaten, moest een eed worden gezworen, die op de geestelijke betekenis van de Tetraktys wijst: "Ja, bij hem die onze geest de tetraktys gaf, die de wortels van de immer-stromende natuur bevat," en Pythagoras was degene die de tetraktys aan hen had overgedragen.
Pythagoras' tetraktys: "de bron van de immer-stromende natuur" is de wiskundige aanwijzing voor het bestaan van het eeuwige leven.
De meetkunde
1. De tetraktys betekent 'vier-groep' of viervoudigheid en wordt op de eenvoudigste wijze gevormd door de eerste, eenvoudigste meetkundige vorm, de punt・, te vermenigvuldigen, want vermenigvuldiging is een van de wezenlijke eigenschappen van het leven. Daardoor ontstaan twee punten als de eenvoudigste volgende vorm, een lijn -- . Daardoor verschijnt de tweeheid, doordat ieder lijnstuk twee uiteinden, het ene en het andere heeft.
Wordt het lijnstuk, de eenheid van het ene en het andere, product van de eerste vermenigvuldiging, zelf voor de tweede keer vermenigvuldigd, dan ontstaat het gelijkbenige kruis ✕ , niet alleen doordat het tweede, andere lijnstuk alleen dan volkomen anders is als het dwars op het eerste lijnstuk staat, maar ook doordat ✕ het teken voor vermenigvuldiging is geworden (naast de punt・).
Door de vier uiteinden is het gelijkbenige kruis ✕ de meest eenvoudige weergave van Pythagoras' viergroep of vierheid: de tetraktys.
2. Het gelijkbenige kruis blijft een vorm in het platte vlak (twee-dimensionaal), maar de eerste vier getallen kunnen ook in een ruimtelijke vorm (drie-dimensionaal) worden weergegeven door de volgende meetkundige bewerking toe te passen:
de 1 wordt weergegeven door de op zichzelf staande punt, de zelfstandige eenheid,
de 2 door het lijnstuk dat de twee uiteinden, 1 en 2 (de twee zelfstandigheden aan de uiteinden van de lijn), tot een eenheid met elkaar verbindt,
de 3 door de gelijkzijdige driehoek, waarvan de tophoek het derde punt is, dat zich in het platte vlak naar de plaats tegenover het lijnstuk beweegt (de middelloodlijn) en die zich daardoor afstandelijk, maar evenwichtig tot de twee andere verhoudt, en
de 4 door de tetraëder, het viervlak, doordat het vierde punt in de ruimte vanuit de tophoek boven het middelpunt van de driehoek is gaan staan en die vanuit dat ene punt evenwichtig met de drie andere punten is verbonden, en daardoor de inwendige ruimte van de tetraëder vormt.
De rekenkunde als 'bron van de immer stromende natuur'
De tetraktys als de 'vier-groep' wordt ook gevormd door de eerste vier getallen uit de wiskundige verzameling van natuurlijke getallen: 1, 2, 3, 4 ... → ∞ . Deze verzameling zelf kan tot in het oneindige worden doorgeteld - 'de immer stromende natuur' - maar middels de gereduceerde cijfersom van de eerste vier getallen zijn ook die rekenkundig met die oneindigheid van de immer stromende natuur verbonden, immers, het optellen, door de gereduceerde cijfersom, van 1 + 2 + 3 + 4 geeft 10, dat ook opgeteld (1+0) weer 1 geeft, waardoor het viertal, de tetraktys weer van voren af aan begint en zich ten slotte in een kringloop tot in het oneindige vermenigvuldigt.
Het eerste viertal getallen bracht door optelling als het ware de tien voort, vandaar dat beide, zowel de tetraktys als de vierheid en de daaruit voortkomende tien, bij de pythagoreeërs volmaakt, heilig waren.
Uit deze vier eenvoudige meetkundige (punt, lijn, driehoek en viervlak) en rekenkundige grondeenheden (de vier eenvoudigste meetkundige vormen en de cijfers 1, 2, 3 en 4) is volgens Pythagoras zowel de geestelijke als de stoffelijke schepping voortgekomen, en worden die er ook eindeloos door voortgezet.
Datzelfde is ook het geval met het eerste zevental, dat opgeteld 28 geeft, dat opgeteld 2+8=10 en dat ook weer 1. Ook de zeven gold als een heilig getal.
De leerlingen van Pythagoras hadden geheimhouding beloofd en gaven de betekenis van de tetraktys niet door. Alleen Hiërokles, leider van de Alexandrijnse School in de vijfde eeuw, heeft er in het algemeen iets over gezegd.
Voor hem als pythagoreeër geldt: de Tetraktys is de godheid, bron van Eeuwige Orde.
De macht van tien is vier; want voor wij tot het volledige en volmaakte tiental komen, ontdekken wij de deugd en volmaaktheid al in de vier. Door de getallen van een tot vier samen te voegen, verkrijgen we tien. [zoals gezegd door de gereduceerde cijfersom: 1+2+3+4=10, 10 is 1+0=1]
De gereduceerde cijfersom
Pythagoras werkte na zijn reis naar Egypte met de rekenkundige bewerking die 'samenstelling van getallen' wordt genoemd (of 'gereduceerde cijfersom' of 'transcendente rekenkunde'); daarmee kan de zinnebeeldige waarde van elk willekeurig getal in een getalswaarde tussen 1 en 9 worden uitgedrukt. Door die bewerking wordt bijvoorbeeld de 10 een 1 door de som 1+0=1; deze 10 is als nieuwe 1 het nieuwe beginpunt, de vernieuwde, herboren 1, maar nu in een toestand, dat de aanleg van de eerste 1 door het verloop van de cijfers 1 t/m 9 volledig tot ontwikkeling is gekomen: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55, 5+5=10, 1+0=1.
Het beginpunt (1) heeft zich, na door alle mogelijke toestanden in de vorm van de getallen heen te zijn gegaan, alzijdig uitgewerkt tot de bol (10): volgens Plato de volmaakte meetkundige vorm (zie Pythagoras' getallenleer in het Menu). De punten op het oppervlak van de bol, dat zich uit het eerste punt, het middelpunt, alzijdig heeft ontwikkeld, zijn alle gelijkwaardig. Daardoor is er op dat oppervlak geen beginpunt en geen eindpunt te vinden: zinnebeeld van de goddelijke, eeuwige oneindigheid... die ook in de mens is te vinden: ook de ontwikkelde, menselijke geest is bolvormig.
|
| tetraktys |
[Ook de som van de eerste zeven getallen leidt tot 10: 1+2+3+4+5+6+7=28, 2+8=10, 1+0=1]
Zoals gezegd zijn 1, 2, 3, en 4 de getallen met de eenvoudigste meetkundige vormen: de vier grondvormen punt, lijn, driehoek en tetraëder - zij vormen volgens Pythagoras de tetraktys, de grondslag van alles in de kosmos (zie hiervoor onderwerp 9).
Het getal 1 is het goddelijke getal waar alles uit voortkomt. Het huwelijk is de verbintenis tussen 2, de vrouw en 3 de man. De 4 is het getal van de gerechtigheid doordat 4 is 2 x 2, dat is een rechthoek als vierkant. Alle zijden van het vierkant zijn gelijk, zijn 2 en daardoor is 4 als rechthoekigheid de rechtvaardigheid. De 4 verbeeldt de gelijkwaardigheid van man en vrouw binnen het huwelijk. Daardoor is het getal 10 de volmaaktheid, want 1+2+3+4=10.
Met de 10 punten is als meetkundige vorm de gelijkzijdige driehoek te vormen, de eerste volmaakte vorm in het platte vlak, met één punt, de 1, als de binnenkant in het midden en 9 punten, als de buitenkant daar omheen, de tetraktys: 1 plus 9 vormt 10 en vervolgens weer 1: het verbeeldt de eenheid (1) in verscheidenheid (9) en een zich eeuwig voortzettende beweging. Ook de 9 is net als 4 een getal dat gerechtigheid, evenwichtigheid verbeeldt, want 9 is 3 x 3.
Welke vorm de tetraktys had is onbekend; de pythagoreeërs hadden beloofd hierover te zwijgen.
Als er een man en een vrouw aanwezig zijn, dan is het natuurlijke beloop dat er een gezin wordt gevormd met een zoon en een dochter; ook zij vormen weer een gezin, enzovoort, waardoor er een eeuwige kringloop van geslachten ontstaat, uitgebeeld door het Keltische vierkant ⌘.
In de tetraktys is de 10 het doorgangspunt van omvorming, van terugkeer naar het begin, dat zonder ophouden doorgaat als een 'perpetuum mobile': een 'voortdurende beweging'. Daardoor was de 10 een heilig getal, wat in de omschrijving van de tetraktys tot uiting komt:
"Zegen ons, heilig getal, gij die de goden en mensen voortbrengt. O heilige, heilige tetraktys, gij die de wortel en de bron bent van de eeuwig voortvloeiende schepping. Want het heilige getal begint met de diepe zuivere eenheid, tot het komt bij de heilige vier; dan baart het de moeder van het al, de alomvattende, de alles begrenzende, de eerstgeborene, de nimmer dwalende, de nooit vermoeide heilige tien."
De 'bron van de eeuwig voortvloeiende schepping' komt overeen met het eeuwige leven uit God, wat het doel is van Jezus' leringen.
de tetraktys als gelijkbenig kruis
Het wezen van de tetraktys werd door de pythagoreeërs geheim gehouden, maar een wezenlijke uitdrukking van het viertal of de viervoudigheid als gelijkbenig kruis of als vierkant is aannemelijk. Als gelijkbenig kruis komt een afbeelding daarvan in de vorm van het gezin overeen met dat van het zonnewiel, zoals hiernaast is weergegeven.
de tetraktys als ruitvormig vierkant
Als vierkant kan het er bijvoorbeeld zo uitzien. →
Een vierkant in de vorm van een ruit bestaat uit vier rechthoekige en gelijkbenige driehoeken, die ieder één van de leden van het goddelijke gezin vertegenwoordigen.
Als de beide rechthoekszijden van de driehoeken 1 zijn, dan is volgens de Stelling van Pythagoras de schuine zijde van de vier driehoeken:
1² + 1² = c² en c² = 2;
dan is c: √2 = 1,414 213... → ∞.
De wortel uit 2 (√2) is een getal dat gekwadrateerd (met zichzelf vermenigvuldigd) het getal 2 geeft. Bij benadering kan dit getal worden gevonden met behulp van een repeterende breuk, die echter doorgaat tot in het oneindige. De uitkomst kan daardoor alleen bij benadering wordt vastgesteld, wat betekent, dat het met een meetlat niet kan worden gemeten; het is een 'imaginair getal', een denkbeeldig getal, dat daardoor alleen in de geest kan bestaan - het getal kan alleen worden gedacht, niet gemeten.
Daaruit volgt dat het gelijkbenige kruis als de diagonalen van de ruit wel zijn te meten (want 1) en daardoor op aarde bestaan, 'werkelijk' zijn; maar dat de omtrek van de ruit, het vierkant, 4x √2 is en daardoor imaginair, alleen in gedachten, in de geest bestaand en niet op aarde bestaat ... maar alleen in de geestelijke wereld.
Zo geeft deze ruit het goddelijke gezin in de geestelijke wereld weer én haar diagonalen het aardse gezin als afspiegeling daarvan op aarde.
de tetraktys als gezin en zonnewiel
De overeenkomst met het zonnewiel wordt helemaal duidelijk als om de ruit een cirkel wordt getrokken. Omtrek en oppervlak van een cirkel worden bepaald door het imaginaire getal π, waar ook voor geldt dat het een denkbeeldig getal is, dat daardoor alleen in de geest kan bestaan.
Zo kan wiskundig worden weergegeven dat het zonnewiel een zinnebeeld is van Jezus' leer van de geestelijke ontwikkelingsweg naar het eeuwige leven van Gods Koninkrijk én een zinnebeeld van het goddelijke gezin daarin.
Klik hier voor een uitgebreide beschrijving van de betekenis van Pythagoras' tetraktys.
Klik hier voor een bespreking van de quaterniteit in Jungs boek Psychologie und Alchemie, die met de betekenis van Pythagoras' tetraktys overeenkomt.
Het goddelijke gezin en de kubus
|
|
het goddelijke gezin: zelfstandigheid én gemeenschappelijkheid |
Zij vormen samen een kring (1,2,3,4) met daarin een kruis (1-3, 2-4), zij staan zij aan zij en zijn gelijkvormig aan elkaar - zij vormen een hechte eenheid. Zij staan op dezelfde grondslag, zij zijn in dezelfde bodem - de algeest - geworteld, waar zij naadloos in overgaan.
Zij zijn gelijkvormig aan het geheel, de vier kleinere in één grote kubus als fractalen, die in het middelpunt (de 9) alle met elkaar zijn verboden.
Dit is de meetkundige weergave van het goddelijke gezin... een tweetal tweelinggeesten: vader en moeder, zoon (broeder) en dochter (zuster)!
Samen met de 4 punten aan de basis (5,6,7,8) zijn er 9 punten.
Dit verzinnebeeldt bij Pythagoras het goddelijke geheel en komt overeen met Jahweh, die in een kubus (het allerheiligste) wilde wonen en in de hemel het hemelse Jeruzalem bewoont, dat de vorm heeft van een kubus.
Deze weergave van de eenheid van het goddelijke gezin verwoordt Jezus tijdens het Laatste Avondmaal,
waarbij de grote kubus de Vader (de algeest) voorstelt, de kleine kubus Jezus en de mens:
Ik (de heilige geest) ben in de Vader (de algeest) en de Vader is in mij. (Joh. 14:11)
Vader, laat hen één zijn zoals wij, de Vader in mij, ik in de Vader en zij in ons. (Joh. 17:21)
Opdat zij één zijn zoals wij één zijn. (Joh. 17:22)
terug naar het overzicht
terug naar het weblog
^